기계공학 취준일기 전공편 3일차 유체정역학1(유체압력장 기본방정식)

1. 유체역학 pascal의 법칙에 대해 알아보자.

 

결론부터 말하자면 pascal의 법칙이란 밀폐된 비압축성 유체의 일부에 압력을 가하면 전단응력이 없는 한 그 압력이 유체내의 모든 곳에 같은 크기로 전달된다고 하는 원리임을 알 수 있다. (중요한건 유체는 비 압축성이고, 전단응력이 없다는 것이다.)

 

왜 그런지 알아보자 

 

출처 내머리 그림1

위 그림은 유체요소를 임의의 모양으로 잘나낸 것이다. 유체요소가 가속운동을 한다고 할 때 y,z 방향의 운동방정식은

그림2

식 1과 식 2가 나오게 된다. 질량(m)이 위 식으로 나오는 이유는 삼각형 이기 때문이다. 그래서 2로 나눈거다.

 

그림3

그림1에서 우리는 그림3의 관계를 유추할 수 있다. 이 식을 그림2의 1과 2에 각각 대입하게 되면

 

그림4

그림 4를 유추할 수 있고, 그림4의 운동방정식을 정리하면

그림5

그림 5와 같은 같은 식을 얻는다.  여기서 각도는 유지하면서 미소변위x,y,z를 0에 수렴하도록 극한을 취하면

 

Py=Ps가 되고 Pz=Ps가 된다. 즉 Py=Ps=Pz가 되게 된다. 

 

위 식이 의미하는 바는 

 

정지하거나 움직이는 유체 내부의 한 지점에서의 압력은 전단응력이 없는 한 모든 방향으로 같다는 결론이 나온다.

 

이것이 pascal의 법칙이다. 

 

앞서 언급한, 밀폐된 비압축성 유체 일부에 압력을 가하면 그 압력이 전단응력이 없는 한 유체 내의 모든 곳에 같은 크기로 전달된다 와 정지하거나 움직이는 비압축성 유체 내부의 한 지점에서의 압력은 전단응력이 없는 한 모든 방향으로 같다 와같은 의미인 것을 알 수 있다.

 

2. 유체 압력장의 기본 방정식에 대해 알아보자. 

 

기본 방정식을 통해 유체역학의 강력한 도구인 베르누이 방정식의 기본이 되고, 이어서 정지유체의 압력분포를 통해

 

파스칼의 원리를 한번더 설명할 것이다.

 

유체 요소에 작용하는 힘은 압력에 의한 표면력과 요소의 중량에 해당하는 체적력으로 나눌 수 있다. 유체 요소의 중심에서의 압력을 p라고 한다면 각 면에서의 평균 압력은 밑 그림과 같다. 

 그림1

위 그림에 따라 x,y,z의 표면력의 값은 

그림2

이렇게 된다. 모든 방향으로의 압력값을 테일러급수로 근사치를 구하고 더하게 되면 각 축의 방향마다의 힘은

 

위와 같이 나오게 된다. 그리고 표면력의 합을 벡터 형태로 표현하면, 아래와 같이 나오게 된다.

 

그림3

그림3의 괄호항은 압력구배의 백터형태표현이며, 그레디언트를 이요하여 다음과 같이 표현할 수 있다. 

그림4

유체요소의 중량은 z축의 음의 방향으로 다음과 같이 작용하며

그림5

전방향에 작용하는 힘의 합력을 newton의 제 2법칙을 적용하여 풀이하면

 

그림6

으로 표현할 수 있다. 이 식을 위 그림3과 그림6으로 표현하면

그림7

그림7과 같은 식을 도출해 낼 수 있다.

 

각 항의 부피를 소거하게 되면 

그림8

그림8과 같은 최종식이 나오게 된다. 이 식은 전단응력이 없는 유체에 대한 일반적인 운동방정식이다.

 

위 운동방정식은 유체역학의 강력한 도구인 베르누이 방정식의 기본이 된다.

 

3. 정지유체의 압력분포

 

정지유체의 압력분포는 2번째 목록의 그림8에 대입하게 되면 가속도가 없으므로 

그림1

그림 1과 같은 식을 얻게 된다. 직관적으로 알 수 있듯이 x, y 축에 따라 정지유체의 압력은 변하지 않음을 알 수 있다.

 

다시 정리하면

그림2 식 1

그림2와 같은 식을 얻을 수 있다.

 

3.1 비압축성 유체 (incompressible fluid)

 

일반적으로 밀도가 일정한 유체를 비압축성 유체라고 한다. 보통 액체의 경우, 수직방향으로 큰 높이 차이에도 밀도 변화를 무시할 정도로 작으므로 액체는 비압축성 유체라는 가정은 정당하다. 그렇므로 p의 값은 상수로 취급되어 식1은 직접 적분할 수 있으므로,

그림3

으로 표현할 수 있고, 

그림4

위 그림4와 같이 표현할 수 있다. (여기서 각 미지수의 2는 수두가 높은 곳이다.) 이 식에서 유추할 수 있는 것은,

 

정지하여 있으며 균일한 비압축성 유체의 압력은 기준면으로부터 깊이에만 의존할 뿐, 유체의 형상이나 크기에는

 

관계가 없음을 알 수 있다. 

 

즉 우리가 알고있는 그림5와 같은 식을 얻을 수 있고, 이것이 의미하는 바는 작은 힘으로 큰 힘을 낼 수 있다는 것이다.

 

이것이 바로 파스칼의 원리이다.

그림5

3.2 압축성 유체(compressible fluid)

 

기체는 압력과 온도의 변화에 따라 밀도가 변하므로 압축성 유체이다. 이상기체 상태방정식 p=ρRT식을 식1에 대입하면 

 

그림6

그림6과 같이 정리된다. 이유는 γ(비중량)=ρg이므로 ρ=p/RT를대입하면 그림 6과 같은 식이 나오게 된다.

 

여기서 온도가 일정하다는 가정을 하고 변수 분리 후 적분을 하게 되면

그림7

위 식을 얻을 수 있고, 다음과 같은 등온 기체에서 압력과 고도의 관계를 알 수 있다.

그림8