열역학 #8 가역단열과정

이번 포스팅은 가역단열과정에 대해 알아보겠습니다.

 

단열이라는 조건은 어떠한 계에서 외부와의 열 교환을 단절한다의 단열입니다. 

 

출처 네이버 블로그 친절한냉동C

 

위 두 그래프를 통해 보면 단열이 어떤 의미인지 알 수 있습니다.

 

1. 엔트로피 

 

우선 엔트로피를 나타내는 클라우시우스 부등식에 대해 간단히 알아야 합니다.

 

 

위 1번식이 클라우시우스 부등식인데,

 

이 식의 의미는 계에 전달되는 열량은 미소의 열전달의 합으로 볼 수 있으므로

 

적분은 미소 열전달을 경계면의 절대온도로 나눈 값들의 합이라고 볼 수 있습니다.

 

엔트로피는 추후에 디테일하게 다루어 보겠습니다.

 

2. 가역단열과정 유도

 

이제 가역단열과정에 대해 알아보겠습니다.

 

우선 이전에 포스트 한 내부에너지를 가지고 옵니다,

이 식은

이렇게 표현할 수 있습니다.

그리고 앞서 언급한 엔트로피 식을 정리해 줍니다.

그리고 W일 을 위 식으로 표현해 주고

마지막으로 정적비열 식을 정리해 준다음에 2번 3번 4번식을 1번식에 대입하게 되면 

위와 같이 정리가 됩니다. 그리고 각 항을 T로 나누어 주면 

이 됩니다.

또한 여기서 단열 조건이기에, 즉 Q인 열출입이 없으므로, S역시 0이 됩니다. 

이상기체 방정식을 압력에 관한 식으로 정리해주면 (n은 몰수이기에 대부분 1로 간주합니다)

위 식이 도출 됩니다. 또한 이 식을 정리해주면 

가 되는데, 앞서 정적비열과 정압비열 포스트에서 서로의 관계를 확인해보았습니다. 그러므로

 

를 대입하면 최종적으로 

이 도출되게 됩니다.

 

여기서 PV=RT의 이상기체 방정식을 V에 관해 정리해서 풀이하게 되면

이 도출됩니다.